Question

如图，将边长为8的等边△AOB置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作OC⊥AB于点C，将△OAC绕着原点O逆时针旋转60°得到△OBD，这时，点D恰好落在y轴上．若动点E从原点O出发，沿线段OC向终点C运动，动点F从点D出发，沿线段DO向终点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度．设运动的时间为t秒．
（1）请直接写出点A、点D的坐标；
（2）当△OEF的面积为

3 3

4

时，求t的值；
（3）设EF与OB相交于点P，当t为何值时，△OPF与△OBD相似？

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可直接得出A点坐标；再由OC⊥AB可得出OC的长，根据图形旋转不变性的性质可得出OD的长，进而得出D点坐标；
（2）过点E作EG⊥OD于点G，根据等边三角形的性质可知OC平分∠AOB，再根据锐角三角函数的定义求出EG的长，S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t即可得出t的值；
（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵等边△AOB的边长为8，点A在x轴正半轴上，
∴A（8，0），
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=30°，
∴OC=OA•cos30°=8×

3

2

=4

3

，
∵△OAC旋转后OC与OD重合，
∴D（0，4

3

）；

（2）过点E作EG⊥OD于点G，如图①所示：
∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
∴∠EOG=90°-30°=60°，
∴EG=OE•sin∠EOG=

3

2

t，
又∵S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t，
由题意可得：

1

2

（4

3

-t）•

3

2

t=

3 3

4

解得t=2

3

±3；

（3）因为∠BOD=∠FOP，所以应分两种情况讨论：
①当∠FPO=∠BDO=90°时，如图②，
∵△OPF∽△ODB，此时OE=OF，
∴t=4

3

-t，解得：t=2

3

；
②当∠OFP=∠ODB=90°时，如图③，
∵△OPF∽△OBD，
∴OF=

1

2

OE，即（4

3

-t）=

1

2

t，
解得：t=

8 3

3

．
综上所述，当t=2

3

秒或t=

8 3

3

秒时，△OPF与△OBD相似．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．