题目内容
如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=
．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值及∠1的度数。
．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值及∠1的度数。
解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MKN=40°． （2分）
（2）不能． （3分）
由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面积=
KN=
,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为，所以此三角形面积不能小于 （5分）
（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，
情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D 重合，设MK=MD=x,则AM=- x,由勾股定理，得
，
1+
,所以
Sin∠AMD=
∠AMD=45°, ∠1=67.5° （8分）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=-x，同理可得
即MK=NK=
∴
Sin∠AKD=, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°
∴△MNK的面积最大值为,∠1=67.5°或22.5° （10分）
∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MKN=40°． （2分）
（2）不能． （3分）
由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面积=
KN=,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为，所以此三角形面积不能小于 （5分）（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，
情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D 重合，设MK=MD=x,则AM=
- x,由勾股定理，得，1+
,所以 Sin∠AMD=∠AMD=45°, ∠1=67.5° （8分）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=
-x，同理可得即MK=NK=
∴
Sin∠AKD=
, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°∴△MNK的面积最大值为
,∠1=67.5°或22.5° （10分）利用折叠的性质求解
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