如图.直线AP的解析式y=kx+4k分别交于x轴.y轴于A.C两点.与反比例函数y=6x交于点P．且PB⊥x轴于B点.S△PAB=9．(1)求一次函数解析式,(2)点Q是x轴上的一动点.当QC+QP的值最小时.求Q点坐标,(3)设点R与点P同在反比例函数的图象上.且点R在直线PB的右侧.作RT⊥x轴于T点.交AC于点M.是否存在点R.使得△BTM与△AOC全等?若存在.求点R的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，直线AP的解析式y=kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y=

（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S_△PAB=9．
（1）求一次函数解析式；
（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；
（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,存在型,待定系数法

分析：（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可；
（2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标；
（3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果．

解答：解：（1）直线AP解析式y=kx+4k=k（x+4），
得到A（-4，0），即OA=4，
设OB=a，PB=b，即P（a，b），
代入反比例解析式得：ab=6，
∵S_△PAB=

AB•PB=9，
∴

（a+4）b=9，即ab+4b=6+4b=18，
解得：a=2，b=3，即P（2，3），
将P（2，3）代入直线y=kx+4k中得：3=2k+4k，
解得：k=

，
则直线AP解析式为y=

x+2；
（2）对于直线y=

x+2，令x=0，得到y=2，即C（0，2），OC=2，
找出C关于x轴的对称点C′（0，-2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短，
设直线C′P解析式为y=mx+n，
将P（2，3）与C′（0，-2）代入得：

2m+n=3

n=-2

，
解得：m=2.5，n=-2，
∴直线C′P解析式为y=2.5x-2，
令y=0，得到x=0.8，即Q（0.8，0）；
（3）若△BTM≌△COA，则有BT=OC=2，MT=OA=4，
∴OT=OB+BT=2+2=4，即M（4，4），
将x=4代入直线OP解析式得：y=

×4+2=2+2=4，即M在直线AP上，
将x=4代入反比例解析式得：y=

=1.5，
此时R坐标为（4，1.5）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．