Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点A，且OA=3OB，抛物线经过点（4，3），抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）顺次连接A、B、C、D，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点P在y轴上，且∠BPO=∠ABC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出确定点B坐标，把B（-1，0），C（4，3）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）首先证明AC∥x轴，根据S_{四边形ABCD}=S_△ACB+S_△ACD计算即可．
（3）作AM⊥BC于M．根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$•AM，推出AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，再求出BM，求出tan∠ABM=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{6}{7}$，由∠BPO=∠ABC，可知tan∠BPO=$\frac{BO}{OP}$=$\frac{6}{7}$，求出OP即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点A，且OA=3OB，
∴A（0，3），OA=3，OB=1，
∴B（-1，0），
把B（-1，0），C（4，3）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{12}{5}$x+3．

（2）∵y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{12}{5}$x+3=-$\frac{3}{5}$（x-2）²+$\frac{27}{5}$，
∴顶点D（2，$\frac{27}{5}$）
∵A（0，3），C（4，3），
∴AC∥x轴，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{27}{5}$-3）=$\frac{54}{5}$．

（3）作AM⊥BC于M．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$•AM，
∴AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{10}$，AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{34}}{17}$，
∴tan∠ABM=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{6}{7}$，
∵∠BPO=∠ABC，
∴tan∠BPO=$\frac{BO}{OP}$=$\frac{6}{7}$，
∴OP=$\frac{7}{6}$，
∴点P坐标（0，-$\frac{7}{6}$），根据对称性可知P′（0，$\frac{7}{6}$）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，$\frac{7}{6}$）或（0，-$\frac{7}{6}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、三角形面积、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．