题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(－4，0)，B(0，3)，动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；
(2)在运动过程中．
①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；
②若点D落在△ABO内部(不包括边界)时，直接写出t的取值范围；
(3)作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AC＝
(4－t)（2）①
时，点D在x轴上，
（3）
或
【解析】（1）利用三角函数sin∠OAB=
=
，cos∠OAB=
=
，列出关系式即可解决问题.
（2）①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得
=
，由此即可解决问题. ②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得=
，求出时间t，求出①②两种情形时 的△POQ的面积即可解决问题.
（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QBQ=QC，作QN∠BC于N，根据cos∠ABO==
，列出方程即可解决问题，当CQ/是⊙M切线时，方法类似.
解：(1)如图1中，
∵OA＝8，OB＝6，∴AB＝
＝5．
在Rt△ACP中，PA＝4－t，
∵sin∠OAB＝
，∴PC＝
(4－t)，
∵cos∠OAB＝
，∴AC＝(4－t)．
(2)①当D在x轴上时，如图2中，
∵QC∥OA，∴
∴
，
解得．∴时，点D在x轴上．
②．
(3)如图3中，
∵Q(0，3－2t)，Q′(0，2t－3)，
当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，
∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，
∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，
∵∠CPM+∠PAC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，
∴BQ＝CQ，作QN⊥BC于N，
∵cos∠ABO＝
，∴
，
解得，
当CQ′是⊙M切线时，同理可得
，解得
．
∴或时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．
“点睛”本题考查圆的综合题、锐角三角函数、四边形的性质、等腰三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是求得点D在特殊位置时的时间，学会利用方程解决问题，属于中考压轴题.
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