题目内容
在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CA的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：
（1）如图1，当E为AB中点时，试确定线段AD与BE的大小关系，请你直接写出结论：AD BE；
（2）如图2，若点E为线段AB上任意一点，（1）中结论是否成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由；
（3）若在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线AC 上，且ED=EC，若等边△ABC的边长为2，AE=5，求CD的长．
（1）如图1，当E为AB中点时，试确定线段AD与BE的大小关系，请你直接写出结论：AD
（2）如图2，若点E为线段AB上任意一点，（1）中结论是否成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由；
（3）若在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线AC 上，且ED=EC，若等边△ABC的边长为2，AE=5，求CD的长．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：常规题型
分析：（1）由题意易得∠D=∠AED=30°，即可得AD=AE，再根据AE=BE，即可解题；
（2）通过作EF∥AC构造等边三角形把BE转化为EF，再利用“角角边”易证△AED≌△FCE，可得AD=FE，即可解题；
（3）由第（2）题结论易得CD=9或1．
（2）通过作EF∥AC构造等边三角形把BE转化为EF，再利用“角角边”易证△AED≌△FCE，可得AD=FE，即可解题；
（3）由第（2）题结论易得CD=9或1．
解答：解：（1）AD=BE；
（2）过点E作EF∥AC交BC于点F，
∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECA，
∴∠D=∠FEC，
∵∠BFE=∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠CFE=120°，
在△AED和△FCE中，
，
∴△AED≌△FCE（AAS），
∴AD=FE，
∴AD=BE；
（3）①
如图，由上题结论得AD=BE，
∴AD=BE=7，
∴CD=9，
②
∵AD=BE=3
∴CD=1
综上CD=9或1．
（2）过点E作EF∥AC交BC于点F，
∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECA，
∴∠D=∠FEC，
∵∠BFE=∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠CFE=120°，
在△AED和△FCE中，
|
∴△AED≌△FCE（AAS），
∴AD=FE，
∴AD=BE；
（3）①
如图，由上题结论得AD=BE，
∴AD=BE=7，
∴CD=9，
②
∵AD=BE=3
∴CD=1
综上CD=9或1．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，考查了等腰三角形的性质，本题中求证△AED≌△FCE是解题的关键．
练习册系列答案
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