题目内容
1.问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=
DF，则的值为_____．
2.拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
3.推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
1.
的值为 1
2.证明：如图9．
∵CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，
即∠MAB=∠MBA．
∴MA=MB．
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
在△AFM与△BEM中，
∠AFM=∠BEM，
∠MAF =∠MBE，
MA=MB，
∴△AFM≌△BEM．
∵点D是AB边的中点，
∴BD = AD．
在△BDE与△ADF中，
BD = AD，
∠DBE =∠DAF，
BE = AF，
∴△BDE≌△ADF．
∴DE=DF．
3.解：DE=DF．
证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）
∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，
∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=
BM，DH=AM．
∴四边形DHMG是平行四边形．
∴∠DHM =∠DGM，
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
∴FG=AM=
AG，EH=BM=
BH．
∴FG= DH，DG= EH， ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．
∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．
∵∠FAM=∠EBM，
∴∠FGM =∠EHM．
∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．
在△EHD与△DGF中，
EH = DG，
∠EHD =∠DGF，
HD = GF，
∴△EHD≌△DGF．
∴DE=DF．
【解析】略
为等腰直角三角形
的重心，
，直线
过点
三点分别作直线
. 
平行时（图1），请你猜想线段
和
三者之间的数量关系并证明；
三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
 |
（1）文文同学证明过程如下：连结AC（如图②）
∵∠B=∠D ，AB=AD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC，∴CB=CD
你认为文文的证法是 的.（在横线上填写“正确”或“错误”）
（2）彬彬同学的辅助线作法是“连结BD”（如图③），请完成彬彬同学的证明过程．
