Question

如图所示，AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和△CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点．求证：△CPQ是等边三角形．

Answer 1

分析：先根据等边三角形的每一个角都是60°，根据同位角相等，两直线平行求出AD∥CE，然后根据平行线分线段成比例定理得到

DP

PC

=

AD

CE

，同理可得CD∥BE，

DQ

QB

=

DC

BE

，再根据等边三角形的边长相等，推出

DP

PC

=

DQ

QB

，得到PQ∥AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠CPQ=∠ACP=∠CQP=∠BCE=60°，∠PCQ=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，从而得出△CPQ是等边三角形．

解答：证明：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AD=CD，CE=BE，∠DAC=∠BCE=60°，
∴AD∥CE，
∴

DP

PC

=

AD

CE

，
同理可得，CD∥BE，
∴

DQ

QB

=

DC

BE

，
∴

DP

PC

=

DQ

QB

，
∴PQ∥AB，
∴∠CPQ=∠ACP，∠CQP=∠BCE，
∵等边三角形的角都是60°，即∠ACD=60°，∠BCE=60°，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
又∠PCQ=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
∴△CPQ是等边三角形．

点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，利用等边三角形的三边相等与每个角都是60°，进行等量代换是解题的关键．