Question

18．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S₁，中点四边形EFGH的面积记为S₂，则S₁与S₂的数量关系是（　　）

• A． S₁=3S₂
• B． 2S₁=3S₂
• C． S₁=2S₂
• D． 3S₁=4S₂

Answer 1

分析 由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半．

解答 解：设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴$\frac{{S}_{△EBK}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{4}$，S_△AEN=S_△EBK，
∴$\frac{{S}_{四边形EKMN}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{{S}_{四边形KFPM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四边形QGPM}}{{S}_{△DCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四边形HQMN}}{{S}_{△DAM}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴四边形ABCD的面积为S₁，中点四边形EFGH的面积记为S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=2S₂．
故选：C．

点评 此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用三角形中位线的性质是解题关键．