Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴交的点恰为⊙A与x轴的交点，求该抛物线的解析式；
（3）试判断C是否在抛物线上？

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据圆的半径求出AC，根据点A的坐标求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，从而得到点C的坐标，再求出∠CAO=60°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，然后求出OB，从而得到点B的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求函数解析式解答即可；
（2）根据圆的性质求出点E（-2，0）、F（6，0），然后设交点式抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），再根据抛物线的对称性确定顶点的横坐标为2，利用顶点在直线BC上求出纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）把点C坐标代入抛物线解析式验证即可．

解答：解：（1）如图，连接AC，∵⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），
∴AC=4，OA=2，
在Rt△ACO中，OC=

AC2-OA2

=

42-22

=2

3

，
∴点C的坐标为（0，2

3

），
∵cos∠CAO=

OA

AC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠CAO=60°，
∴∠B=90°-∠CAO=90°-60°=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴OB=AB-OA=8-2=6，
∴点B的坐标为（-6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

-6k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 3 b=2 3

，
所以，直线BC的解析式为y=

3

3

x+2

3

；

（2）∵⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），
∴点E（-2，0）、F（6，0），
∵抛物线经过点E、F，
∴顶点的横坐标为2，
∵顶点在直线BC上，
∴顶点纵坐标为

3

3

×2+2

3

=

8 3

3

，
∴顶点坐标为（2，

8 3

3

），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），
∴a（2+2）（2-6）=

8 3

3

，
解得a=-

3

6

，
∴y=-

3

6

（x+2）（x-6），
即y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

；

（3）当x=0时，y=2

3

，
所以，点C（0，2

3

）在抛物线上．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了圆的对称性，勾股定理，待定系数法求函数解析式（包括一次函数解析式，二次函数解析式），二次函数图象上点的坐标特征，难度不大，（2）利用交点式解析式求抛物线解析式更加简便．