Question

抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=

1

2

S_△ABC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）²+4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）存在，设出P（a，-a²+2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1）²+4，
将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）存在这样的P点，
设P（a，-a²+2a+3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）代入得：

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直线AB解析式为y=-x+3，
∵S_△ABP=

1

2

S_△ABC，且两三角形都以AB为底边，
∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的

1

2

，
∵C（1，4）到直线AB的距离d=

1+4-3

2

=

2

，
∴P到直线AB的距离d=

|a-a2+2a+3-3|

2

=

2

2

，即|-a²+3a|=1，
整理得：a²-3a-1=0或a²-3a+1=0，
解得：a=

3± 13

2

或a=

3± 5

2

，
当a=

3+ 13

2

时，-a²+2a+3=-

22+6 13

4

+3+

13

+3=-

13

2

+

1

2

=

1- 13

2

；
当a=

3- 13

2

时，-a²+2a+3=-

22-6 13

4

+3-

13

+3=

13

2

+

1

2

=

13 +1

2

；
当a=

3+ 5

2

时，-a²+2a+3=-

14+6 5

4

+3+

5

+3=

5- 5

2

；
当a=

3- 5

2

时，-a²+2a+3=-

14-6 5

4

+3-

5

+3=

5-5 5

2

，
则满足题意的P坐标为（

3+ 13

2

，

1- 13

2

）；（

3- 13

2

，

13 +1

2

）；（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）；（

3- 5

2

，

5-5 5

2

）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．