题目内容

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如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
12
ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：精英家教网
如图2，抛物线顶点坐标为点C（-1，-4），交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意，可设出抛物线顶点解析式，代入A点的坐标，即可得出抛物线的解析式；利用抛物线的解析式，得出B点的坐标，结合A点的坐标，即可得出直线AB的解析式；
（2）当P运动到C点时，此时铅直高为点C纵坐标；又可得出AB的距离，即可得出△CAB的面积；
（3）假设存在这样的点P 横坐标为x，铅直高为H，结合题意，可用含x的代数式表示出，利用条件S△PAB=S△CAB，即可得出x的值，代入可得出P的纵坐标，并适当取舍．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y1=a（x+1）2-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴抛物线的表达式为y1=（x+1）2-4=x2+2x-3；
∴B点的坐标为（0，-3）．（3分）
设直线AB的表达式为y2=kx+b．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得
-3k+b=o
b=-3
 解得k=-1，b=-3．
∴直线AB的表达式为y2=-x-3．（4分）

（2）因为点C坐标为（-1，-4），
∴当x=-1时，y1=-4，y2=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．（5分）
S△ABC=
1
2
OA•CD=
1
2
×3×2=3．（6分）

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x（-3＜x＜0），
△PAB的铅垂高为H．则H=y2-y1=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3x．（7分）
由S△PAB=S△CAB，得
1
2
×3×(-x2-3x)=3．
化简得：x2+3x+2=0．解得x1=-2，x2=-1．（9分）
将x=-2代入y1=x2+2x-3 中，解得P点坐标为（-2，-3）．
将x=-1代入y1=x2+2x-3 中，P点坐标为（-1，-4）与顶点C重合．
所以还存在点P（-2，-3），满足条件．（12分）
点评：本题主要考查了二次函数和一次函数的综合应用，以及三角形面积等知识点，有一定的综合性和难度，学生在做题目时要认真分析和理解题目所给条件，即可完成题目．
练习册系列答案
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S△ABC=
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ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
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如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=
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S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若精英家教网不存在，请说明理由．
精英家教网阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
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ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．
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如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

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如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
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如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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