Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原.

（1）当时，折痕EF的长为            ；

当点E与点A重合时，折痕EF的长为             ；

（2）试探索使四边形EPFD为菱形时的取值范围，请简要说明探索过程。

并求当时,菱形EPFD的边长.

Answer 1

解：（1）3，   …………… 2分  

（2）∵要使四边形EPFD为菱形，∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长为，此时x=1，
当EF最短时，点D与点B重合，点P与点B重合.此时x=3，
∴探索出1≤x≤3

当时，如图，连接DE、PF.∵EF是折痕, ∴DE=PF,设PE=，则AE=

∵在⊿ADE中，∠DAE=90°, ∴AD2+AE2=DE2,即

解得，此时菱形EPFD的边长为