Question

如图，直线y=

3

4

x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y=

3

4

x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为

27

8

，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；
（2）把s的值代入解析式，求出即可；
（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①所示，求出C、D的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C（-6，0），D（0，-8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=

3

4

x+6的交点坐标即可；如图②所示，求出C、D的坐标，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=

3

4

x+6的交点坐标即可．

解答：解：（1）∵P（x，y）代入y=

3

4

x+6得：y=

3

4

x+6，
∴P（x，

3

4

x+6），
当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=

1

2

OA×y=

1

2

×|-6|×（

3

4

x+6）=

9

4

x+18（x＞-8）
当P在第三象限时，△OPA的面积是s=

1

2

OA×（-y）=-

9

4

x-18（x＜-8）
答：在点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是s=

9

4

x+18（x＞-8）或s=-

9

4

x-18（x＜-8）．

解：（2）把s=

27

8

代入得：

27

8

=

9

4

x+18或

27

8

=-

9

4

x-18，
解得：x=-6.5或x=-9.5，
x=-6.5时，y=

9

8

，
x=-9.5时，y=-1.125，
∴P点的坐标是（-6.5，

9

8

）或（-9.5，-1.125）．

（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（-

168

25

，

24

25

）；
②如图所示：
P的坐标是（

24

25

，

168

25

）
存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（-

168

25

，

24

25

）或（

24

25

，

168

25

）．

点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．