Question

如图1，点A、B、C、D为抛物线y=-2x²+bx+c上的点，其中A为顶点，ABCD为正方形，过C作EF∥BD，
（1）当EF与x轴重合，且E为坐标原点，求抛物线解析式及EF的长；
（2）如图2，若抛物线改为“y=ax²+bx+c且EF=

2

”，其余条件不变，求a值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质即可得出AH=DH=

1

2

AC，进而表示出二次函数的解析式，得出D点坐标，利用图象上点的坐标性质得出m的值即可得出二次函数的解析式，求出EF即可；
（2）利用正方形的性质即可得出AH=DH=

1

2

AC，进而表示出二次函数的解析式，得出D点坐标，利用图象上点的坐标性质得出m的值即可得出二次函数的解析式，求出EF，即可得出a的值．

解答：解：（1）连接AC、BD交于点H，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AH=DH=

1

2

AC，
根据抛物线的对称性，又∵AB=AD，
∴BD∥x轴，
设抛物线为y=-2（x-h）²+k，
∴顶点A（h，k），
设AH=DH=m，
∴D（h+m，k-m），
∵D为抛物线上的点，
∴k-m=-2（h+m-h）²+k，
m1=

1

2

，m₂=0（不符合题意，舍去），
∴AC=2m=1，即k=1，
∴y=-2（x-h）²+1将（0，0）代入0=-2（0-h）²+1，
h1=

2

2

，h2=-

2

2

（不符合题意，舍去），
∴y=-2(x-

2

2

)2+1=-2x2+2

2

x，
令y=0，-2x2+2

2

x=0，
∴x₁=0，x2=

2

，
∴EF=

2

；

（2）连接AC、BD交于点H，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AH=DH=

1

2

AC，
根据抛物线的对称性，又∵AB=AD，
∴BD∥x轴，
设抛物线为y=a（x-h）²+k，
∴顶点A（h，k），
设AH=DH=m，∴D（h+m，k-m），
∵D为抛物线上的点，
∴k-m=a（h+m-h）²+k，
m1=-

1

a

，m₂=0（不符合题意，舍去），
∴AC=-

2

a

即C（h，k+

2

a

），
∵EF∥BD，EF=

2

，
根据抛物线对称性，CF=

1

2

EF=

2

2

，
∴F（h+

2

2

，k+

2

a

），
∴k+

2

a

=a(h+

2

2

-h)2+k

2

a

=

1

2

a，
∴a²=4，
a=±2，
∵开口向下，
∴a的值为-2．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及正方形的性质，根据已知图象上点的坐标性质得出坐标中m的值是解题关键．