Question

10．如图，∠ECF=90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）当∠CAB=50°，求∠D的度数．
（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，∠D与∠C有怎样的数量关系？说说你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知和邻补角的性质、互余的概念以及三角形的外角的性质求出∠D的度数；
（2）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质计算即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=50°，
∴∠EAB=130°，又AG是∠EAB的角平分线，
∴∠GAB=65°，
∵∠ECF=90°，∠CAB=50°，
∴∠ABC=40°，又BD平分∠CBA，
∴∠ABD=20°，
∴∠D=∠GAB-∠ABD=45°；
（2）∵AG是∠EAB的角平分线，
∴∠GAB=$\frac{1}{2}$∠EAB，
∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠EAB-∠ABC=90°，
∴∠D=∠GAB-∠ABD=45°，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠C．

点评 本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．