Question

（1）分解因式：x⁷+x⁵+1
（2）对任何正数t，证明：t⁴-t+

1

2

＞0．

Answer 1

分析：（1）首先把因式添项x⁶再减去x⁶，然后因式分解，再提取公因式即可，
（2）根据题干t⁴-t+

1

2

=（t⁴-t²+

1

4

）+（t²-t+

1

4

）可知，两个完全平方式不可能小于0，结论可证．

解答：解：（1）x⁷+x⁵+1=x⁷+x⁶+x⁵-x⁶+1
=x⁵（x²+x+1）-（x³+1）（x³-1）
=（x²+x+1）[x⁵-（x-1）（x³+1）]
=（x²+x+1）（x⁵-x⁴+x³-x+1），
（2）t⁴-t+

1

2

=（t⁴-t²+

1

4

）+（t²-t+

1

4

）  
=（t²-

1

2

）²+（t-

1

2

）²≥0  
因为（t²-

1

2

）²与（t-

1

2

）²不可能同时为0，故等于不成立，因此有：t⁴-t+

1

2

＞0．

点评：本题主要考查拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．