题目内容
如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP•BC．
分析：（1）因为PM切⊙O于点M，所以∠PMO=90°，又因为弦AB是直径，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有条件弦AC∥PM，可证得∠CAB=∠P，进而可证得△ABC∽△POM；
（2）由（1）可得
=
，又因为AB=2OA，OA=OM；所以2OA2=OP•BC．
（2）由（1）可得
| AB |
| PO |
| BC |
| OM |
解答：证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，
∴∠PMO=90°，
∵弦AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB=∠P，
∴△ABC∽△POM；
（2）∵△ABC∽△POM，
∴
=
，
又AB=2OA，OA=OM，
∴
=
，
∴2OA2=OP•BC．
∴∠PMO=90°，
∵弦AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB=∠P，
∴△ABC∽△POM；
（2）∵△ABC∽△POM，
∴
| AB |
| PO |
| BC |
| OM |
又AB=2OA，OA=OM，
∴
| 2OA |
| PO |
| BC |
| OA |
∴2OA2=OP•BC．
点评：本题考查了切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心和相似和圆有关的知识，具有一定的综合性．
练习册系列答案
相关题目
