Question

【题目】如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误．

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，

故①正确；

若∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，

∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，

故②错误；

∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，

∴∠ABF=∠EBD，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，

又∵∠BAD=∠C，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AF=AE，

故③正确；

∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN与△GBN中，

∵，

∴△ABN≌△GBN（ASA），

∴AN=GN，

又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，

∴△ANE≌△GNF（SAS），

∴∠NAE=∠NGF，

∴GF∥AE，即GF∥AC，

故④正确；

∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不一定是等边三角形，

∴EF不一定等于AE，

∴EF不一定等于FG，

故⑤错误．

故答案为：①③④．