Question

已知：如图所示，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F。
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos∠MAN=，AE=，求阴影部分的面积。

Answer 1

证明：（1）DE与⊙O相切，
理由如下：连结OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OE∥AD，
∴∠OEF=∠ADF=90°，
即OE⊥DE，垂足为E，
又∵点E在半圆O上，
∴ED与⊙O相切；
（2）∵cos∠MAN=，
∴∠MAN=60°，
∴∠2=∠MAN=×60°=30°，∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°，
∴∠2=∠AFD，
∴EF=AE=，
在Rt△OEF中，tan∠OFE=，
∴tan30°=，
∴OE=1，
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_阴=

=。