Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
过点F作FD⊥AC于D
则
∴
∴DF=
所以y=AE•DF=x•=-x²+x（1＜x＜3）

（Ⅱ）这样的EF存在，
S△ABC=BC•AC=×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以-x²+x=3
解得：x=
∵0＜x＜3
∴x取
∴6-x=6-=＜5
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=．
分析：（Ⅰ）根据AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；
（Ⅱ）根据EF平分三角形ABC的面积列出有关x的一元二次方程，解得有意义即可判定存在．
点评：本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式，解题的关键是根据已知条件表示出有关的线段的长．