题目内容

（1）如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在直线AB上，∠ECF=∠B，
①△ACF与△BEC的关系为
△ACF∽△BEC
△ACF∽△BEC
．
②设△ABC的面积为S，求证：AF•BE=2S．
（2）如图2，将（1）中的∠ACB=90°改为∠ACB=α°，求证：AF•BE=
2Ssinα
．
（3）如图3，在 （2）中的条件不变的情况下，（2）中的结论是否成立？（直接写出结论，不用说明理由）
分析：（1）①可证明∠A=∠B=45°，再根据外角的性质和已知条件可得出∠ACF=∠BEC，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△ACF∽△BEC；
②利用相似三角形△ACF∽△BEC的对应边成比例、直角三角形的面积公式证得AF•BE=2S；
（2）利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的对应边成比例、三角形的面积公式S=
1
2
absinC证得结论；
（3）根据等边对等角证得∠A=∠CBA，再根据外角的性质和已知条件可得出∠AFC=∠BCE，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的对应边成比例、三角形的面积公式S=
1
2
absinC证得结论．
解答：（1）解：①△ACF∽△BEC，理由为：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACF=∠ACE+45°，
∴∠ACF=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
故答案为：△ACF∽△BEC；

②证明：∵△ACF∽△BEC，
∴
AC
BE
=
AF
BC
，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
BE•AF，
∴AF•BE=2S；

（2）证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA（等边对等角），
∴∠BEC=∠ACE+∠A（三角形外角定理）．
又∵∠ACF=∠ACE+∠ECF，∠ECF=∠CBA，
∴∠ACF=∠BEC，
又∵∠A=∠CBA，
∴△ACF∽△BEC；
∴
AC
BE
=
AF
BC
，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S=
1
2
AC•BCsin∠ACB=
1
2
BE•AFsin∠ACB=
1
2
BE•AFsinα，即AF•BE=
2S
sinα
．

（3）解：（2）中的结论能成立，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B（等边对等角），
∵∠AFC=∠B+∠FCB（三角形外角定理），∠BCE=∠ECF+∠FCB，∠ECF=∠B
∴∠AFC=∠BCE，又∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC；
∴
AC
BE
=
AF
BC
，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S=
1
2
AC•BCsin∠ACB=
1
2
BE•AFsin∠ACB=
1
2
BE•AFsinα，即AF•BE=
2S
sinα
．
点评：本题考查了相似综合题．涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网下列说法：
（1）如图1，已知PA=PB，则PO是线段AB的垂直平分线；
（2）对于反比例函数y=
2
x
，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上两点，若x1＜x2，则y1＞y2； 
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
（4）如图2，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则AC=4；
（5）一组对边平行的四边形是梯形；    
（6）y=
k
x
是反比例函数；
（7）若一个等腰三角形的两边长为2和3，那么它的周长为7，
其中正确的有（　　）个．
A、0B、1C、2D、5
（1）如图1，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：AE=BF；
（2）为响应市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅（如图2），在乙建筑物的顶部D点测得顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的两建筑物之间的水平距离（答案可带根号）．
如图1，已知双曲线y=
k
x
(k＞0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为
 
；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为
 
；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=
k
x
(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．
①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
精英家教网
如图1，已知正方形ABCD，将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF．求证：EF=AE+CF
（1）小明是这样思考的：延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路．
（2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长②将角∝绕D点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图3所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．
如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．
（1）试问OE=0F吗？请说明理由．
（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网