Question

（1）如图1，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：AE=BF；
（2）为响应市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅（如图2），在乙建筑物的顶部D点测得顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的两建筑物之间的水平距离（答案可带根号）．

Answer 1

分析：（1）首先根据∠AOB=90°，∠EOF=90°可以推出∠2=∠3．再根据△AOB是等腰三角形，△EOF是等腰三角形，可得AO=BO，EO=FO，进而可以利用SAS证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质可得AE=BF；
（2）设BC的距离为x，当E点与B点重合时的，可以求得BC的临界距离，根据∠ADF和∠BDF可以求得AF与DF、BF与DF的关系，即可求得DF的值，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，∠EOF=90°，
∴∠AOB-∠1=∠EOF-∠1，
即∠2=∠3，
∵△AOB是等腰三角形，△EOF是等腰三角形，
∴AO=BO，EO=FO，
在△AOE和△BOF中

EO=FO ∠2=∠3 AO=BO

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵∠ADF=45°，
∴AF=DF•tan45°=DF，
∵∠EDF=30°，
∴EF=DF•tan30°=

3

3

DF，
∴AE=AF+EF=DF+

3

3

DF=30，
∴DF=（45-15

3

）米，
即BC=（45-15

3

）米．
答：底部不能直接到达的两建筑物之间的水平距离BC长为（45-15

3

）米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用中仰角与俯角问题，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，解直角三角形即可求出．