Question

如图1，已知正方形ABCD，将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF．求证：EF=AE+CF
（1）小明是这样思考的：延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路．
（2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长②将角∝绕D点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图3所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．

Answer 1

分析：（1）延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，根据正方形的性质推出AD=DC，∠A=∠DCG，证△DAE≌△DCG，推出DE=DG，∠EDF=∠FDG=45°，证△DEF≌△DGF推出EF=FG即可；
（2）①设EF=x，由（1）知得出四边形DEBG的面积=正方形ABCD的面积=36，求出△DFG的面积为15，根据三角形的面积公式求出即可；②延长CF到点G，使得CG=AE，连接DG，与（1）类似求出△DAE≌△DCG，再证△DFE≌△DFG，推出EF=FG即可．

解答：（1）证明：延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，
∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠A=∠BCD=∠DCG=90°，
在△DAE和△DCG中

AD=DC ∠A=∠DCG AE=CG

，
∴△DAE≌△DCG，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠FDC+∠CDG=45°，
∴∠FDG=∠EDF=45°，
在△DEF和△DGF中

DE=DG ∠EDF=∠FDG DF=DF

，
∴△DEF≌△DGF，
∴EF=FG=CF+CG=CF+AE，
即EF=AE+CF．

（2）①解：设EF=x，
由（1）知：四边形DEBG的面积=正方形ABCD的面积=36，
又∵△BEF的面积是6，
∴四边形DEFG的面积为30，
∵△DAE≌△DCG，EF=FG=x，
∴△DFG的面积为15，
∴

1

2

•6x=15，
解得x=5，
∴EF=5．
②EF=AE-CF，
证明：如图3，延长CF到点G，使得CG=AE，连接DG，
在△DAE和△DCG中

AD=DC ∠A=∠DCG AE=CG

，
∴△DAE≌△DCG，
∴∠CDG=∠ADE，DE=DG，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG+∠CDE=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=45°，
在△DFE和△DFG中

DE=DG ∠EDF=∠FDG DF=DF

，
∴△DFE≌△DFG，
∴FE=FG，
∴CG-CF=FG=EF，
∴EF=AE-CF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，旋转的性质等知识点的应用，作辅助线后求出△DAE≌△DCG和△DFE≌△DFG是解此题的关键，主要考查学生是否正确掌握这种解题思路（证两条线段的和等于一条线段，作辅助线的方法），题目较好．