题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y= $数学公式$ （m≠0）的图象交于A（1，3）、B（4，n）两点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

解：（1）∵反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象经过A（1，3），
∴3= $\text{[math]}$ ，则m=3．
∴反比例函数的表达式为y= $\text{[math]}$ ． …
又∵点B（4，n）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上．
∴n= $\text{[math]}$ ，即B（4， $\text{[math]}$ ）．
∵一次函数y=kx+b的图象经过A（1，3）、B（4， $\text{[math]}$ ）两点．
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的表达式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ； …

（2）设直线y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，则C（0， $\text{[math]}$ ）．
∴S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC= $\text{[math]}$ OC•|x_B|- $\text{[math]}$ OC•|x_A|，
= $\text{[math]}$ OC•（x_B-x_A），
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3，
= $\text{[math]}$ ．
∴△AOB的面积为 $\text{[math]}$ ． …
分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC△列式进行计算即可求解．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．