题目内容

如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，在l上翻滚两次，使它转到△A′B′C′的位置．若BC=1，AC= $数学公式$ ，则顶点A运动到点A′的位置时，点A经过的路线的长是；若在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长又是．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：利用弧长公式即可求得：由A到A′转过的路径长和有A′到A″经过的路线长，二者的和就是顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线的长；
根据每三次旋转一个循环，因而在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长即可求解．
解答：∵BC=1，AC= $\text{[math]}$ ，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴由A到A′转过的路径长是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由A′到A″经过的路线长是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线的长是： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）π；
继续旋转，则每三次旋转一个循环，因而在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长是 $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）π=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）π．
故答案是：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）π，（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）π．
点评：本题考查了弧长公式，正确理解每三次旋转一个循环，以及记忆弧长公式是解题的关键．