Question

已知抛物线y=ax²+bx+c图象如图，对称轴为直线x=1，则代数式：（1）abc；（2）a+b+c；（3）a-b+c；（4）4a+2b+c；（5）（m²-1）a+（m-1）b（m≠1）中，值为正数的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=1得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＞0；由于x=1得到a+b+c＜0；由x=-1得到a-b+c＞0；根据抛物线的对称性得到x=2得到4a+2b+c＜0；根据抛物线的最值问题得到x=1时，函数最小，则a+b+c＜m²a+mb+c（m≠1），所以m²-1）a+（m-1）b（m≠1）＞0．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0；
∵x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0；
∵x=1时，函数最小，
∴a+b+c＜m²a+mb+c（m≠1），
即m²-1）a+（m-1）b（m≠1）＞0．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．