Question

【题目】如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．

(1)求抛物线解析式；

(2)设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．

①求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②当平行四边形的面积为24时，请判断平行四边形是否为菱形？

③是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，②当点E为（4，-4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，-4）时，平行四边形OEAF是菱形．③不存在这样的点，使平行四边形是正方形，理由见解析．

【解析】

（1）将抛物线解析式设成顶点式，然后用待定系数法就可解决问题．

（2）①求出抛物线与x轴的交点坐标，就可得到x的取值范围，由于△OAE与△AOF全等，因此S=2S△OAE=-6y，然后把y换成x的代数式即可．

②易求出点E的纵坐标y，从而求出点E的坐标，然后算出OE、AE的长，就可判定四边形OEAF是否为菱形；

③可先求出使四边形OEAF是菱形时点E的坐标，然后再验证菱形OEAF是否是正方形．

解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．

把、两点坐标代入上式，得

解得：，．

∴抛物线的解析式为：．

（2）①∵点在抛物线上，位于第四象限，

∴，即，表示点到的距离．

∵是的对角线，

∴，

∵，

∴；

∵抛物线与轴的两个交点是和，

∴自变量的取值范围是；

∴，（）.

②依题意，当时，即，

解得，；

Ⅰ．当x=4时，，则点E（4，-4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，

则有OH=4，EH=4，AH=2．

∵EH⊥x轴，

∴OE=，AE=．

∴OE≠AE．

∴平行四边形OEAF不是菱形．

Ⅱ．当x=3时，，则点E（3，-4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，

则有OH=3，EH=4，AH=3．

∵EH⊥x轴，

∴OE=5，AE=5．

∴OE=AE．

∴平行四边形OEAF是菱形．

综上所述；当点E为（4，-4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，-4）时，平行四边形OEAF是菱形．

③不存在点E，使四边形OEAF为正方形．

理由如下：

当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO=EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，
此时，，，，点E为（3，-4）．

则有OA=6，EF=8．

∵OA≠EF，

∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．