Question

如图（1），在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系；
（2）如图（2），当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中推导的结论是否还成立？

Answer 1

解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+[180°-（∠B+∠C）]=90°+（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）]=（∠C-∠B）．

（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）；
∴∠BAE=[180°-（∠B+∠C）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+[180°-（∠B+∠C）]=90°+（∠B-∠C）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）=（∠C-∠B）]．
分析：先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．
点评：此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．