Question

17．如图．已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6$\sqrt{2}$．
（1）证明：△BED∽△BCA；
（2）求点B到直线AC的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠CEB=∠ABD=90°，推出△ABD∽△CEB，根据相似三角形的性质得到$\frac{DB}{AB}=\frac{BE}{BC}$，可证得结论；
（2）由（1）知△ABD∽△CEB得到$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{DE}{AC}）^{2}$，于是求得AC，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠ABD=90°，
∵∠B=∠B，
△ABD∽△CEB，
∴△BED∽△BCA；
（2）解：由（1）知△BDE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{AC}$）²，
∵△ABC和△BDE的面积分别为27和3，DE=6$\sqrt{2}$，
∴AC=18$\sqrt{2}$，
∴点B到直线AC的距离=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．