Question

如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S_△BFG=5，CD=4，求CG．

　

Answer 1

考点：

矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．

分析：

（1）求出∠BAE=90°，根据矩形的判定推出即可；

（2）求出△BGE面积，根据三角形面积公式求出BG，得出EG长度，根据勾股定理求出GH，求出BE，得出BC长度，即可求出答案．

解答：

（1）证明：∵F为BE中点，AF=BF，

∴AF=BF=EF，

∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，

在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，

∴∠BAF+∠FAE=90°，

又四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为矩形；

（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，

∵F为BE的中点，FG⊥BE，

∴BG=GE，

∵S_△BFG=5，CD=4，

∴S_△BGE=10=BG•EH，

∴BG=GE=5，

在Rt△EGH中，GH==3，

在Rt△BEH中，BE==4=BC，

∴CG=BC﹣BG=4﹣5．

点评：

本题考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，有一定的难度．