题目内容

如图，点P是反比例函数 $数学公式$ （k₁＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数 $数学公式$ （k₂＜0且|k₂|＜k₁）的图象于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（2，3）．
①点E的坐标是（，），点F的坐标是（，__）（用含k₂的式子表示）；
②若△OEF的面积为 $数学公式$ ，求反比例函数 $数学公式$ 的解析式．

解：（1）∵P是点P是反比例函数 $\text{[math]}$ （k₁＞0，x＞0）图象上一动点，∴S_矩形PBOA=k₁，
∵E、F分别是反比例函数 $\text{[math]}$ （k₂＜0且|k₂|＜k₁）的图象上两点，
∴S_△OBF=S_△AOE= $\text{[math]}$ |k₂|，
∴四边形PEOF的面积S₁=S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE=k₁+|k₂|，
∵k₂＜0，
∴四边形PEOF的面积S₁=S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE=k₁+|k₂|=k₁-k₂．

（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
∴E、F两点的坐标分别为E（2， $\text{[math]}$ ），F（ $\text{[math]}$ ，3）；

②∵P（2，3）在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k₁=6，
∵E、F两点的坐标分别为E（2， $\text{[math]}$ ），F（ $\text{[math]}$ ，3）；
∴PE=3- $\text{[math]}$ ，PF=2- $\text{[math]}$ ，
∴S_△PEF= $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ ）（2- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴S_△OEF=（k₁-k₂）- $\text{[math]}$
=（6-k₂）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵k₂＜0，
∴k₂=-2．
∴反比例函数 $\text{[math]}$ 的解析式为y=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可解答；
（2）①根据PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，分别把P点的横纵坐标代入反比例函数y= $\text{[math]}$ 即可求出E、F两点的坐标；
②先根据P点的坐标求出k₁的值，再由E、F两点的坐标用k₂表示出PE、PF的长，再用k₂表示出△PEF的面积，把（1）的结论代入求解即可．
点评：本题难度较大，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式，涉及面较广，难度较大．