Question

如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若四边形EARD的面积为4

3

，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，得出A、B、C的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可用配方法求出其顶点坐标；
（2）连接ER，过D作DF⊥x轴于F；由于ED、EA都是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，易证得△EAR≌△EDR则它们的面积相等，由此可得到S_△EAR=2

3

，即可求出EA的长，也就得到了E点的坐标；在Rt△EAR中，根据EA、AR的值，即可求出∠ERA的度数，进而可求出∠DRF的度，从而在Rt△DRF中，通过解直角三角形求出RF、DF的长，由此求得D点坐标，用待定系数法即可求出直线DP的解析式；（需注意的是AE的长为正值，但是E点的纵坐标有正负两种情况，所以要分类讨论）
（3）在△DAQ中，由于DQ是⊙M的直径，所以DR=QR，则△DAR和△RAQ等底同高，所以面积相等，即△DAQ的面积是△DAR的2倍；在（2）题中已经求出四边形EARD的面积是△EAR的2倍，若四边形EARD的面积等于△DAQ的面积，则△DAR、△EAR的面积相等，这两个三角形共用底边AR，所以它们的高相同，由此可证得PD与x轴平行，即PD的解析式为y=±2，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，
∴b，c互为相反数，|b|=|c|≤3，
∴b=3，c=-3，a=-1，
所以抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，抛物线的函数关系式为：y=x²-2x-3，
又∵y=（x-1）²-4，
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

（2）连接ER，∵EA、ED是⊙R的两条切线，
∴EA=ED，EA⊥AR，ED⊥RD，
在Rt△EAR和Rt△EDR中，

AE=ED ER=ER

，
∴△EAR≌△EDR（HL），
又∵四边形EARD的面积为4

3

，
∴S_△EAR=2

3

，
∴

1

2

AR•AE=2

3

，
又∵AR=2，
∴AE=2

3

，
因此，点E的坐标为E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），
当E点在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAR中，tan∠ERA=

AE

AR

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ERA=60°，
∴∠DRB=60°，
过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴RF=1，DF=

3

，
因此，切点D的坐标为（2，

3

），
设直线PD的函数关系式为y=kx+b，
将E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐标代入得，

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直线PD的函数关系式为：y=-

3

3

x+

5 3

3

，
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D坐标为（2，-

3

），
直线PD的函数关系式为y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直线PD的函数关系式为y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；

（3）若四边形EARD的面积等于△DAQ的面积，
又∵S_{四边形EARD}=2S_△EAR，S_△DAQ=2S_△ARD，
∴S_△ARD=S_△EAR，
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙R相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，
当y=2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
当y=-2时，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，
故满足条件的点P的位置有4个，分别是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．