题目内容
夜晚，小明在路灯下散步．若小明身高1.5m，路灯的灯柱高4.5m．（1）如图1，若小明在相距10米的两路灯AB、CD之间行走（不含两端），他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．解答问题：
①若BF=4，求影子FM．②猜想影子FM与FN的长的和为定值吗？说出理由．
（2）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度．
分析：（1）①易得△EMF∽△AMB，利用对应边成比例可得FM的长；
②同法得到比例式，进行等量代换，利用等比性质可得相关数值；
（2）利用相似的代数式表示出人走的路程及影子移动的路程，根据时间相等可得相应速度．
②同法得到比例式，进行等量代换，利用等比性质可得相关数值；
（2）利用相似的代数式表示出人走的路程及影子移动的路程，根据时间相等可得相应速度．
解答：解：（1）①∵AB∥EF，
∴△ABM∽△EFM．
∴
=
，
解得：FM=2；
②同理可得
=
，
∵AB=CD，
∴
=
=
∴
=
，
=
，
解得：MN=5，
∴影子FM与FN的长的和为定值5；
（2）根据题意设小明由F到B，则影子是从N到C．
由（1）可知
=
，
=
，
∵AB=EF，
∴
=
=
，
设FN=k，BC=b，
∴QN=3k，QC=3b，
∴FB=2（b-k），
NC=3（b-k），
设影子的速度为y，
=
，
解得y=1.2．
答：影子的速度为1.2米/秒．
∴△ABM∽△EFM．
∴
| EF |
| AB |
| FM |
| MB |
解得：FM=2；
②同理可得
| EF |
| CD |
| NF |
| ND |
∵AB=CD，
∴
| FM |
| MB |
| NF |
| ND |
| 1 |
| 3 |
∴
| FM+NF |
| MB+ND |
| 1 |
| 3 |
| MN |
| 10+MN |
| 1 |
| 3 |
解得：MN=5，
∴影子FM与FN的长的和为定值5；
（2）根据题意设小明由F到B，则影子是从N到C．
由（1）可知
| EF |
| PQ |
| FN |
| QN |
| AB |
| PQ |
| BC |
| QC |
∵AB=EF，
∴
| FN |
| QN |
| BC |
| QC |
| 1 |
| 3 |
设FN=k，BC=b，
∴QN=3k，QC=3b，
∴FB=2（b-k），
NC=3（b-k），
设影子的速度为y，
| 3(b-k) |
| y |
| 2(b-k) |
| 0.8 |
解得y=1.2．
答：影子的速度为1.2米/秒．
点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；得到用字母表示的影子走过的路程及人走过的路程是解决本题的突破点．
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