已知直线m∥n.点C是直线m上一点.点D是直线n上一点.CD与直线m.n不垂直.点P为线段CD的中点．(1)操作发现:直线l⊥m.分别交m.n于点A.B.当点B与点D重合时.连结PA.请直接写出线段PA与PB的数量关系:PA=PB．(2)猜想证明:在图1的情况下.把直线l向右平移到如图2的位置.试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立?若成立.请给予证明,若不成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，分别交m、n于点A、B，当点B与点D重合时（如图1），连结PA，请直接写出线段PA与PB的数量关系：PA=PB．
（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向右平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB
的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图3），若两平行线m、n之间的距离为2k，求证：PA•PB=k•AB．

分析（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．
（2）PA=PB仍然成立．解法一：如图2，延长AP交直线n于点E．只要证明PA=PE即可；解法二：如图2-1，把直线l向左平移到经过点P的位置，易得AF=BE．只要证明△PAF≌△PBE即可；解法三：如图2-2，把直线l向右平移到经过点C的位置，易得AC=BE．只要证明△PAC≌△PBE即可；
（3）解法一：如图3，延长AP交直线n于点E，作AF⊥直线n于点F．只要证明△AEF∽△BEP，可得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BP}$，推出AE•BP=AF•BE，由AF=2k，AE=2PA，BE=AB，推出2PA•PB=2k•AB，可得PA•PB=•AB．
解法二：如图3-1中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n于点F．只要证明△AHP∽△APB即可；解法三：如图3-2中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n于点F．由S_△PAB=S_△PEB，即$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$BE•PF，由此即可解决问题；

解答解：（1）如图1中，

∵l⊥m，
∴∠BAC=90°
又∵点P为线段CD的中点，
∴PA=$\frac{1}{2}$CD=PB．
故答案为PA=PB．

（2）这时PA与PB的关系式仍然成立，证明如下：
如图2，延长AP交直线n于点E．

∵m∥n，
∴∠ACP=∠PDE，∠CAP=∠PED，
又∵PC=PD，
∴△PAC≌△PED（AAS）
∴PA=PE，即点P是AE的中点，
又∵∠ABE=90°，
∴PA=PB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

解法二：如图2-1，把直线l向左平移到经过点P的位置，易得AF=BE．

∵m∥n，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{PF}{PE}$，
∵PC=PD，
∴PF=PE．
∵∠AFP=∠BE=90°，
∴△PAF≌△PBE（SAS），
∴PA=PB．
解法三：如图2-2，把直线l向右平移到经过点C的位置，易得AC=BE．

∵∠CED=90°，PC=PD，
∴PC=PE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠PCE=∠PEC，
∴90°-∠PCE=90°-∠PEC，即∠ACP=∠BEP，
∴△PAC≌△PBE（SAS），
∴PA=PB．

（3）解法一：如图3，延长AP交直线n于点E，作AF⊥直线n于点F．

由（2）得PA=PE，
又∵∠APB=90°，
∴BP是线段AE的垂直平分，
∴AB=BE，
∵∠AFE=∠BPE=90°，∠AEF=∠BEP，
∴△AEF∽△BEP，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BP}$，
∴AE•BP=AF•BE，
∵AF=2k，AE=2PA，BE=AB，
∴2PA•PB=2k•AB，
∴PA•PB=•AB．

解法二：如图3-1中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n于点F．

∴∠PHA=90°．
∵m∥n，
∴$\frac{PH}{PF}$=$\frac{PC}{DP}$，
∵PC=PD，HF=k，
∴PH=PF=k，
由（2）得PA=PE．
∵∠APB=90°，即BP⊥AE．
∴BP是线段AE的垂直平分，
∴AB=BE，
∴∠AEB=∠BAP．
∵m∥n，
∴∠AEB=∠HAP，
∴∠BAP=∠HAP，
∵∠PHA=∠APB=90°，
∴△AHP∽△APB，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PH}{PB}$，
∴PA•PB=PH•AB，即PA•PB=k•AB．

解法三：如图3-2中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n于点F．

∴∠PHA=90°．
∵m∥n，
∴$\frac{PH}{PF}$=$\frac{PA}{PE}$=$\frac{PC}{PD}$，
∵PC=PD，HF=2k，
∴PA=PE，PH=PF=k，
由（2）得PA=PE．
∵∠APB=90°，即BP⊥AE．
∴BP是线段AE的垂直平分，
∴AB=BE，
∵PA=PE，
∴S_△PAB=S_△PEB，即$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$BE•PF，
∴PA•PB=kAB．