Question

1．一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图1所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为45cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图2所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．

Answer 1

分析 （1）利用已知图形得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系得出BE的长，进而求出BO的长；
（2）直接得出△BAO≌△OCD，进而得出雨刮杆AB扫过的最大面积．

解答 解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，
如图2，连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于E，
∵∠OAB=120°，∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10cm，
∴sin∠OAE=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OE}{10}$，
∴OE=5$\sqrt{3}$cm，AE=5cm
∴EB=AE+AB=50cm，
在Rt△OEB中，
∵OE=5$\sqrt{3}$cm，EB=50cm，
∴OB=$\sqrt{O{E^2}+B{E^2}}$=$\sqrt{2575}$=$5\sqrt{103}$（cm）；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△OCD，
∴S_△BAO=S_△OCD，
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=$\frac{1}{2}$π（OB²-OA²）=1237.5π（cm²）．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用以及锐角三角函数关系，利用锐角三角函数关系得出OE的长是解题关键．