题目内容

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．
（1）求等边△ABC的边长；
（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．
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分析：（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）根据OM=6cm，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN和ON的长，再根据△OMN∽△BEM，利用其对应边成比例求出BE、PE，然后利用三角形面积公式即可求得答案．
（3）△PEF为等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．
解答：解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴∠ONM=60°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA=
1
2
OM=
1
2
×6=3．

（2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2
3
，MN=4
3
．
∵△OMN∽△BEM，
∴
MB
MN
=
BE
ON
，
∴
6-t
4
3
=
EB
2
3
，
BE=
6-t
2
，
当点P在BE上时，
PE=BE-PB=
6-t
2
-2t=
6-5t
2
，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=
3
AE=
3
（3-BE）=
3
（3-
6-t
2
）=
3
2
t，
∴△PEF的面积S=
1
2
×EF×PE=
1
2
×
3
2
t×
6-5t
2
，
即S=
3
(6t-5t2)
8
=-
5
3
t 2-6
3
t 
8
（0＜t＜
5
6
）；
当点P在AE上时，PE=PB-BE=2t-
6-t
2
=
5t-6
2
，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=
3
AE=
3
（3-BE）=
3
（3-
6-t
2
）=
3
2
t，
∴△PEF的面积S=
1
2
×EF×PE=
1
2
×
3
2
t×
5t-6
2
，
即S=
3
(5t2-6t)
8
=
5
3
t 2-6
3
t
8
（
5
6
＜t≤3）；

（3）存在，有三种情况：
①当点P在线段AB上时，
点P在AB上运动的时间为
3
2
s，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°，精英家教网
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=
3
AE=
3
（3-BE）=
3
（3-
6-t
2
）=
3
2
t，
∴
6-5t
2
=
3
2
t或
5t-6
2
=
3
2
t，
解得t=
15-3
3
11
或
15+3
3
11
＞
3
2
（故舍去），
②当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°=
EF
2
PF
=
3
t
8t-12
=
3
2
，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=
EF
cos∠AFE
=
EF
cos30°
=t，
则t-（2t-3）=
3
2
t，
解得：t=12-6
3
；
③当PE=EF，P在AE上时无解，
综上，存在t值为
15-3
3
11
或12-6
3
或2时，△PEF为等腰三角形．
点评：此题涉及到含30度角的直角三角形、三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加了一定的难度，因此此题属于难题．
练习册系列答案
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作
（2，2）
．
在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
2
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（1）点A的坐标为
（-3，2
2
）
（-3，2
2
）
，点B的坐为
(-3-2
2
，0)
(-3-2
2
，0)
；
（2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
（3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

(1)按照这种规定填写下表：

(2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

阅读下面的材料：

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如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

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（1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

 

在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），
（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

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