Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）24

【解析】

（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=ABAC，结合条件可求得答案．

（1）证明：∵E是AD的中点

∴AE＝DE

∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

在△AEF和△DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS）

∴AF＝DB

∵D是BC的中点

∴BD=CD=AF

∴四边形ADCF是平行四边形

∵∠BAC＝90°，

∴AD＝CD＝BC

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：设AF到CD的距离为h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh＝S△ABC＝ABAC＝．