Question

已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
【小题1】判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论
【小题2】若DE的长为2，cosB＝，求⊙O的半径.

Answer 1

【小题1】如图，连接CD，则CD⊥AB，　　

又∵AC＝BC，
∴AD＝BD , 即点D是AB的中点．…………………… 2分
DE是⊙O的切线．
理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC.
又∵DE⊥AC， 
∴DE⊥DO，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．…………… 3分
【小题2】∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，
∴cos∠B＝cos∠A＝.
∵cos∠A＝＝ 又DE=
∴AD＝3. ∴BD＝AD=3
∵cos∠B＝＝，
∴BC＝9，
∴半径为……………3分解析:
（1）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
(2)利用勾股定理和直角三角形的角边关系推出园的直径，然后得出园的半径。