Question

定义A=a+b

m

、B=a-b

m

（a，b，m均为有理数）都是无理数，满足：①A+B=2a为有理数，②AB=a²-mb²为有理数．称A、B两数为一对共轭数．（如：3+2

2

，3-2

2

，∵3+2

2

+3-2

2

=6，(3+2

2

)(3-2

2

)=32-(2

2

)2=9-8=1，∴3+2

2

，3-2

2

是一对共轭数）．
（1）已知，x₁，x₂是方程x²-4x=2的两个根，求x₁、x₂的值，并判别x₁、x₂是否是一对共轭数？
（2）在（1）的条件下，试判别x₁²、x₂²是否是一对共轭数？

Answer 1

分析：（1）求得方程x²-4x=2的两个根后，检验是否本题所说的条件即可．
（2）由（1）求得两根，再求得x₁²、x₂²的值，看是否符合其定义．

解答：解：（1）由方程x²-4x-2=0
解得：x₁=

4+ 16+8

2

=2+

6

x₂=2-

6

检验：x₁+x₂=4=2×2，x₁，x₂=-1=4-5×1=-1
故x₁，x₂是一对共轭数．

（2）x₂²=（2-

6

）²=10-4

6

，x₁²=（2+

5

）²=10+4

6

，
x₁²+x₂²=20，
x₁²x₂²=4．
故x₁²、x₂²是一对共轭数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．并要根据共轭数的定义，计算出代数来判断．