Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O（0，0），A（0，4

3

），B（4，4

3

），C（8，0），OH垂直BC于H，若OH=4

3

．
（1）求∠HOC的度数；
（2）动点P从点O出发，沿线段OH向点H运动，动点Q从点A出发，沿线段AO向点O 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
①若直线QP交x轴的正半轴于点N，当t为何值时，QP=2PN；
②在P，Q的运动过程中，是否存在t值，使得△OPQ与△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由三角函数，求得∠AOB的度数，由HL，可证得Rt△AOB≌Rt△HOB，即可求得∠HOC的度数；
（2）首先作辅助线：过点N与H作NK⊥x轴，即可得到相似三角形：△POQ∽△PKN，由相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
（3）由相似三角形的判定，易得当QP⊥OH时，△OPQ∽△HOB，由三角函数的性质，即可求得当t=

4 3

3

时，△OPQ与△HOB相似．

解答：解：（1）∵OA=4

3

，AB=4，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=

AB

OA

=

3

3

，
∴∠AOB=30°，
∵OA=OH，OB=OB，∠BAO=∠BHO=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△HOB（HL），
∴∠BOH=∠AOB=30°，
∴∠HOC=30°；

（2）①过点N与H作NK⊥x轴，
∴NK∥OA，
∴△POQ∽△PKN，
∴当

NK

OQ

=

PK

OP

=

PN

PQ

=

1

2

时，
∵OQ=4

3

-t，OP=t，
∴PK=

1

2

t，NK=

1

2

（4

3

-t），
∴OK=

3

2

t，
∵∠HOC=30°，
∴

NK

OK

=

1 2 (4 3 -t)

3 2 t

=

4 3 -t

3t

=

1

2

，
∴t=

8 3

5

，
∴当t为

8 3

5

时，QP=2PN；
②当QP⊥OH时，△OPQ∽△HOB．
∵∠QPO=∠OHB=90°，∠QOP=∠OBH=60°，
∴△OPQ∽△HOB，
∴cos∠QOP=

OP

OQ

=

t

4 3 -t

=

1

2

，
∴t=

4 3

3

，
∴当t=

4 3

3

时，△OPQ与△HOB相似．
③当PQ⊥OA时，△OPQ∽△BOH，
cos∠QOP=

OQ

OP

=

4 3 -t

t

=

1

2

，
解得：t=

8 3

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的性质与全等三角形的判定与性质．题目综合性很强，难度比较大，解题时要注意仔细分析求解．