Question

6．如图1，已知点A（-1，-4）是二次函数y=ax²+bx-3（a≠0）的图象的顶点，且此二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点B，与y轴相交于点C，点P是线段AB上任意一点，过点P的直线l与x轴垂直，垂足为D，且直线l与此二次函数的图象相交于点E．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）求线段PE的长度的最大值；
（3）如图2，当线段PE的长度取最大值时，将直线l向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，平移后的直线称为直线l₁，设点P₁是直线l₁与线段AB的交点，连接P₁C，CD₁．若△P₂CD₁与△P₁CD₁关于直线CD₁对称，求点P₂的坐标，并判断点P₂是否在已知的二次函数的图象上．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x+1）²-4，然后展开得到a-4=-3，则求出a即可得到抛物线解析式；
（2）如图1，先确定B（-3，0），C（0，-3），再利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-2x-6，则设E（x，x²+2x-3），则P（x，-2x-6），所以PE=-2x-6-（x²+2x-3）=-x²-4x-3，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）如图2，由（2）得到D（-2，0），则利用平移的性质得D₁（-$\frac{3}{2}$，0），再求出P₁（-$\frac{3}{2}$，-3），于是可判断P₁C∥x轴，D₁P₁=3，所以P₁C=$\frac{3}{2}$，接着利用对称的性质得P₂D₁=3，P₂C=$\frac{3}{2}$，设P₂（a，b），然后根据两点间的距离公式得到（a+$\frac{3}{2}$）²+b²=3²，a²+（b+3）²=（$\frac{3}{2}$）²，再解关于a、b的方程组即可得到点P₂的坐标，于是可判断点P₂是否在已知的二次函数的图象上．

解答 解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）²-4，
即y=ax²+2ax+a-4，
∴a-4=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3；
（2）如图1，
当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，则B（-3，0），
当x=0时，y=x²+2x-3=-3，则C（0，-3），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把B（-3，0），A（-1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{-m+n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x-6，
设E（x，x²+2x-3），则P（x，-2x-6），
∵PE=-2x-6-（x²+2x-3）=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴当x=-2时，线段PE的最大值为1；
（3）如图2，
D（-2，0），
∵直线l向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，平移后的直线称为直线l₁，
∴D₁（-$\frac{3}{2}$，0），
当x=-$\frac{3}{2}$，y=-2x-6=-3，则P₁（-$\frac{3}{2}$，-3），
而C（0，-3），
∴P₁C∥x轴，D₁P₁=3，
∴P₁C=$\frac{3}{2}$，
∵△P₂CD₁与△P₁CD₁关于直线CD₁对称，
∴P₂D₁=3，P₂C=$\frac{3}{2}$，
设P₂（a，b），
∴（a+$\frac{3}{2}$）²+b²=3²，a²+（b+3）²=（$\frac{3}{2}$）²，解得a=$\frac{9}{10}$，b=-$\frac{9}{5}$或a=-$\frac{3}{2}$，b=-3，
∴P₂点的坐标为（$\frac{9}{10}$，-$\frac{9}{5}$），
当x=$\frac{9}{10}$时，y=（$\frac{9}{10}$+1）²-4=-$\frac{39}{100}$，
∴点P₂不在已知的二次函数的图象上．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特征．二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．