Question

【题目】在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化.

（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______，与的位置关系是______；

（2）当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1），；（2）结论仍然成立，理由：略；（3）

【解析】

（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出△BAP≌△CAE，再延长交于， 根据全等三角形的性质即可得出；
（2）结论仍然成立．证明方法同（1）；
（3）根据（2）可知△BAP≌△CAE，根据勾股定理分别求出AP和EC的长，即可解决问题；

（1）如图1中，结论：，.

理由：连接.

∵四边形是菱形，，

∴，都是等边三角形，，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

，

∴，

∴，，

延长交于，

∵，

∴，

∴，即.

故答案为，.

（2）结论仍然成立.

理由：选图2，连接交于，设交于.

∵四边形是菱形，，

∴，都是等边三角形，，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

选图3，连接交于，设交于.

∵四边形ABCD是菱形，，

∴，都是等边三角形，，

∵是等边三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

（3），

由（2）可知，，

在菱形中，，

∴，

∵，，

在中，，

∴，

∵与是菱形的对角线，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

在中，，

∴.