Question

在△ABC中，AB=

2

，点D在BC边上，BD=2DC，cos∠DAC=

3 10

10

，cos∠C=

2 5

5

，则AC+BC=

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．

解答：解：∵BD=2DC，
∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，
∵cos∠DAC=

3 10

10

，cos∠C=

2 5

5

，
∴sin∠DAC=

10

10

，sin∠C=

5

5

则由正弦定理得：

AD

sinC

=

CD

sin∠DAC

，
即

y

5 5

=

x

10 10

，即y=

2

x，
sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=

10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

2

，
则∠ADB=

π

4

，∠ADCADC=

3

4

π，
在△ABD中，AB²=BD²+AD²-2AD•BDcos

π

4

，
即2=4x²+2x²-2×2x×

2x

•

2

2

=2x²，
即x²=1，
解得x=1，
即BD=2，CD=1，AD=

2

，
在△ACD中，
AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos

3π

4

=2+1-2×

2

×（-

2

2

）=5，
即AC=

5

，
则AC+BC=3+

5

，
故答案为：3+

5

．

点评：本题主要考查了解三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值和正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．