Question

【题目】如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P（2，1）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；

（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．

试题解析：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．；

（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1），∴点P的交点坐标为：（2，1）．