Question

已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x²y+xy²=120，则x²+y²=

 

．

Answer 1

分析：x²+y²=（x+y）²-2xy，变形题设条件，可视x+y、xy为关于t的一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．

解答：解：由xy+x+y=23，x²y+xy²=120，得xy，x+y是关于t的一元二次方程t²-23t+120=0的两根，
解得t=8或15，
∴

x+y=8 xy=15

或

x+y=15 xy=8

（舍去）
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=8²-2×15=34．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．