Question

如图，Rt△ABC中，O是斜边BC的中点．P是AB边上一点，且∠APO=∠C，已知PA=5，PB=3，则PO=

 

．

Answer 1

分析：作辅助线AO，构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OA=OB=OC；然后利用相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA的对应边成比例求得

OA

AB

=

AP

BC

，即

OA

8

=

5

2OA

，并求得OA=2

5

；最后在Rt△APO中，由勾股定理解得PO=

5

．

解答：解：连接AO．
∵Rt△ABC中，O是斜边BC的中点，
∴OA=OB=OC，
∴∠C=∠OAC；                     
∵∠APO=∠C，∠BAC=90°，
∴∠PAO+∠OAC=∠PAO+∠APO=90°，
∴∠POA=90°；
在Rt△APO和Rt△BCA中，

∠APO=∠C(已知) ∠AOP=∠BAC=90°

，
∴Rt△APO∽Rt△BCA（AA），
∴

OA

AB

=

AP

BC

；
又∵PA=5，PB=3，
∴

OA

8

=

5

2OA

，
解得，OA=2

5

；
在Rt△APO中，PO=

PA2-OA2

=

5

．
故答案是：

5

．

点评：本题考查了直角三角形的斜边上的中线、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解得该题时，作辅助线OA，构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA是解题的关键．