Question

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求cos∠E的值．

Answer 1

【考点】切线的判定；勾股定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

【解答】（1）证明：如图，

方法1：连接OD、CD．

∵BC是直径，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC．

∴D是AB的中点．

∵O为CB的中点，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切线．

方法2：∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∵∠A+∠ADF=90°

∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．

即∠EDO=90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°．

∴CD==8．

∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，

∴BG==．

∴CG==．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG==．

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．