Question

如图，在平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为（0，-2），（0，8），以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．设x轴交半圆P于点E，交边CD于点F．
（1）求线段EF的长；
（2）连接BE，试判断直线B与⊙P的位置关系，并说明你的理由；
（3）直线BE上是否存在着点Q，使得以Q为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与⊙P外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）线段EF的长，在△EFP中，根据勾股定理求出；
（2）要想证BE是⊙O的切线，只要连接PE，求证∠PEB=90°即可；
（3）求r的值，因为⊙Q与⊙P外切有PQ=r+5，Q与y轴相切有QM=r，则QN=MN-QM=10-r，则通过证明△BMQ∽△BOE可求NP=5-

4r

3

，在Rt△QNP中由勾股定理得出QN²+NP²=PQ²，列出关于r的方程，求出r的值．

解答：解：（1）连接PE，EF=

PE2-PF2

=

52-32

=4（3分）

（2）（解法一）
∵

BO

EF

=

8

4

=2，

EO

PF

=

10-4

3

=2，
∴Rt△BOE∽Rt△EFP．
∴∠OBE=∠FEP．
∴∠OBE+∠OEB=90°?∠FEP+∠OEB=90°?∠BEP=90°．
∴直线B与⊙P相切．（3分）
（解法二）连接PB，
在Rt△PCB中，PB²=PC²+BC²=5²+10²=125，
在Rt△BOE中，BE²=BO²+OE²=8²+6²=100，
在△PEB中，BE²+PE²=100+25=PB²
∴∠PEB=90°．（3分）
∴直线B与⊙P相切．（1分）

（3）连接PQ，
∵⊙Q与⊙P外切，
∴PQ=r+5．（1分）
过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N，
∵⊙Q与y轴相切，
∴QM=r．
∴QN=MN-QM=10-r．（1分）
∵MQ∥OE，
∴△BMQ∽△BOE．
∴

BM

BO

=

MQ

OE

．
∴BM=

8×r

6

=

4r

3

．
∴NP=NF-PF=MO-PF=BO-BM-PF=5-

4r

3

．（2分）
（另解：直线DE所对应的函数关系式为y=-

4

3

x+8，设Q（r，h），代入得h=-

4

3

r+8，即NF=-

4r

3

+8，从而NP=5-

4r

3

）
∵在Rt△QNP中，QN²+NP²=PQ²∴（10-r）²+（5-

4r

3

）²=（5+r）²
∴16r²-390r+900=0．（1分）
解得：r=

195± 23625

16

=

195±15 105

16

．（1分）

点评：本题难度较大，综合性较强，考查了正方形，直角三角形的性质，直线与圆，圆与圆的关系，切线的判断，相似三角形的性质及函数知识．