题目内容
如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．【小题1】求这条抛物线的解析式；
【小题2】点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
【小题3】探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【小题1】∵x2-2x-8="0" ，∴(x-4)(x+2)="0" .∴x1=4,x2=-2.
∴A(4,0) ,B(-2,0)
又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，
∴
∴
∴所求抛物线的解析式为y＝－
x2＋x＋4【小题2】设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.
∵点B坐标为(-2，0)，点A坐标(4,0)，
∴AB=6， BP=m+2.
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC.
∴.
∴.
∴EG＝
∴S△CPE= S△CBP- S△EBP=
BP•CO－BP•EG∴
(m＋2)（4－）.＝－
m 2＋
m＋
∴
(m－1) 2＋3又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S△CPE有最大值3.
此时P点的坐标为(1，0).
【小题3】存在Q点，其坐标为Q1(1，1)，Q2 (1，
)，Q3. (1，－)，Q4. (1，4＋
)，Q5. (1，4－)． 5分解析:（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．
②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．
③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．
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